Ce que peut apporter la modélisation mathématique de l'épidémie

TRIBUNE. Voici un round up au sujet de la modélisation mathématiques des épidémies, en particulier celle du Covid-19. La plus connue est celle du modèle SIR. Fouad El-Aqqari nous propose une nouvelle piste.

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Ce que peut apporter la modélisation mathématique de l'épidémie Enfant à sa sortie d'hôpital à Fès après sa guérison du Covid-19. (Photo MAP)

Le 11 mai 2020 à 18:37

Modifié le 12 mai 2020 à 00:06

Tous les gouvernements ont fait appel aux experts dans tous les domaines, afin de collaborer ensemble et  gagner cette guerre acharnée. Médecins, infirmiers, virologues, épidémiologistes, scientifiques et mathématiciens, travaillent sans relâche pour comprendre l’évolution de ce virus, détecter ses points faibles, prévoir son plan d’attaque et ainsi prendre les meilleures décisions au moment opportun.

C’est dans cette optique que nous souhaitons contribuer à notre façon à comprendre, évaluer et simuler en vue de sensibiliser la population du caractère urgent de la situation.

Il est important de souligner que les chiffres avancés dans cette étude sont strictement et uniquement dédiés à des fins éducatives et de recherche et peuvent contenir des erreurs.

Par Fouad El-Aqqari

Ingénieur d'Etat de l'EMI

Responsable R&D dans une entité financière

Comme cité précédemment, cette étude a pour objectif de fournir un aperçu sur l’évolution actuelle de l’épidémie, et aussi une date de sortie prévisionnelle de cette crise sanitaire. Pour cela, nous utiliserons la modélisation mathématique.

 
Le modèle de référence


Le modèle de base est le modèle SIR, développé en 1924 par 3 chercheurs : Soper, Kermack et McKendrick. C’est un modèle épidémiologique qui se définit par des compartiments (le nombre de groupes déterminant la population et les caractéristiques de chacun d’eux) et des règles (la nature des échanges qui se produisent entre ces groupes).

Dans sa version de base, le modèle SIR est composé de trois compartiments:

- une population d’individus Sains et susceptibles d’être infecté.

- une population d’individus Infectés capable de transmettre la maladie.

- et une population d’individus Rétablis qui deviennent immunisés.


La constante β est le taux d’infection, et γ représente le taux de rétablissement.

De par sa structure simpliste, cette méthode est toujours considérée comme valide. De nos jours, elle est régulièrement utilisée pour la modélisation des épidémies comme le cas de la grippe H1N1 ou Ebola.

Le Nouveau modèle amélioré : SCHIQMUR 

Les particularités de ce virus nécessitent des modèles plus complexes que le modèle de base. Dès lors, la nouvelle modélisation doit prendre en compte non seulement des caractéristiques intrinsèques de l’épidémie, à savoir le taux d’infection, la probabilité de transmission, la durée de contagion, la durée de latence, la durée d’incubation…, mais également, les mesures mises en œuvre par les gouvernements notamment : la distanciation sociale, la politique de dépistage, le port des masques…

Le modèle que nous proposons, utilise 8 compartiments que nous appelons « SCHIQMUR ». Nous avons ajouté 5 compartiments additionnels que nous avons jugé nécessaires pour refléter au mieux la réalité.

Le schéma ci-dessous explique le transfert d’individu entre chaque compartiment :

Après avoir implémenté ce modèle dans une solution de calcul numérique, nous avons procédé à un ajustement de la courbe empirique (curve fitting). Il s’agit d’une méthode qui consiste à construire une courbe modèle, définie à partir d’un ensemble de fonctions mathématiques, et d’ajuster les paramètres de ces dernières pour se rapprocher au mieux de la courbe expérimentale.

Le modèle semble correspondre mieux à la courbe épidémique réelle que les autres modèles classiques. Assurément, le modèle SIR amélioré ajuste les paramètres de forme de la courbe empirique en l’occurrence, l’aplatissement et l’asymétrie. De surcroît, le modèle nous permet d’avoir des informations pertinentes non fournies par les autres modèles.

Concrètement, de par sa structure complexe, le modèle SIR amélioré nous offre un aperçu plus réaliste de l’évolution de chacun des compartiments du modèle. Dans le cas présent, nous pouvons tracer l’évolution des cas asymptomatiques et estimer leur nombre en fonction du temps comme le montre le graphique ci-dessous.

Cette illustration retrace la réalité, car, lorsqu'une personne saine est exposée au virus, elle ne devient pas nécessairement capable de le transmettre immédiatement, elle devient contaminée. Après une période de latence, la personne devient infectieuse sans pour autant montrer des symptômes cliniques, et ce, sur une durée déterminée appelée durée d’incubation. Dès l’apparition des symptômes, le malade est pris en charge par les services hospitaliers.

De plus, le nombre de cas asymptomatiques au 8 mai est de 550±50 cas, ces derniers vont être signalés (après que la période d’incubation se termine et les premiers symptômes commencent à apparaître) et intégrés dans la liste des confirmés dans les jours à venir. Notons que le Maroc a dépassé le pic de la courbe des asymptomatiques, signifiant la décroissance du nombre dans les jours à venir.

Dans le cas de la courbe épidémique du covid-19 au Maroc, le modèle dévoile les informations suivantes :

- La fin de l’épidémie à l’échelle nationale vers la dernière semaine du septembre.

- Le nombre de cas déclarés atteindra 9.200±100.

- Le nombre de cas décédés sera aux alentours de 270±30.

- Le nombre maximal des cas hospitalisés est 3.311, est atteint le 1er mai.

- Le nombre maximal de personnes admises en soins intensifs ne dépassera guère 160 cas.

Pour un but comparatif, nous appliquons le modèle sur les autres pays touchés par la pandémie. Ce qui nous permettra de  connaitre leur position en absolue et relative sur la courbe épidémique.

En conclusion,
De par son instinct de survie, l’homme tente en vain d’anticiper l’avènement des épidémies pour mieux les contrer. Grâce au développement des sciences, l’homme devient de plus en plus outillé pour comprendre les mécanismes de fonctionnement, les modes de transmission, la propagation et le développement des épidémies. A travers la modélisation mathématique, il a pu évaluer, simuler, prédire l’évolution de l’épidémie, pour proposer des solutions permettant de freiner sa propagation.

Grâce à cela, nous avons pu avoir un aperçu sur l’évolution de l’épidémie à l’échelle nationale. Toutefois, Il convient de rappeler que les modèles utilisés sont certes rigoureux et précis, mais calculés à une date et avec des paramètres donnés. Tout changement impacterait d’une manière significative les résultats de ces modèles.

Enfant à sa sortie d'hôpital à Fès après sa guérison du Covid-19.

Ce que peut apporter la modélisation mathématique de l'épidémie

Le 11 mai 2020 à18:41

Modifié le 12 mai 2020 à 00:06

TRIBUNE. Voici un round up au sujet de la modélisation mathématiques des épidémies, en particulier celle du Covid-19. La plus connue est celle du modèle SIR. Fouad El-Aqqari nous propose une nouvelle piste.

Tous les gouvernements ont fait appel aux experts dans tous les domaines, afin de collaborer ensemble et  gagner cette guerre acharnée. Médecins, infirmiers, virologues, épidémiologistes, scientifiques et mathématiciens, travaillent sans relâche pour comprendre l’évolution de ce virus, détecter ses points faibles, prévoir son plan d’attaque et ainsi prendre les meilleures décisions au moment opportun.

C’est dans cette optique que nous souhaitons contribuer à notre façon à comprendre, évaluer et simuler en vue de sensibiliser la population du caractère urgent de la situation.

Il est important de souligner que les chiffres avancés dans cette étude sont strictement et uniquement dédiés à des fins éducatives et de recherche et peuvent contenir des erreurs.

Par Fouad El-Aqqari

Ingénieur d'Etat de l'EMI

Responsable R&D dans une entité financière

Comme cité précédemment, cette étude a pour objectif de fournir un aperçu sur l’évolution actuelle de l’épidémie, et aussi une date de sortie prévisionnelle de cette crise sanitaire. Pour cela, nous utiliserons la modélisation mathématique.

 
Le modèle de référence


Le modèle de base est le modèle SIR, développé en 1924 par 3 chercheurs : Soper, Kermack et McKendrick. C’est un modèle épidémiologique qui se définit par des compartiments (le nombre de groupes déterminant la population et les caractéristiques de chacun d’eux) et des règles (la nature des échanges qui se produisent entre ces groupes).

Dans sa version de base, le modèle SIR est composé de trois compartiments:

- une population d’individus Sains et susceptibles d’être infecté.

- une population d’individus Infectés capable de transmettre la maladie.

- et une population d’individus Rétablis qui deviennent immunisés.


La constante β est le taux d’infection, et γ représente le taux de rétablissement.

De par sa structure simpliste, cette méthode est toujours considérée comme valide. De nos jours, elle est régulièrement utilisée pour la modélisation des épidémies comme le cas de la grippe H1N1 ou Ebola.

Le Nouveau modèle amélioré : SCHIQMUR 

Les particularités de ce virus nécessitent des modèles plus complexes que le modèle de base. Dès lors, la nouvelle modélisation doit prendre en compte non seulement des caractéristiques intrinsèques de l’épidémie, à savoir le taux d’infection, la probabilité de transmission, la durée de contagion, la durée de latence, la durée d’incubation…, mais également, les mesures mises en œuvre par les gouvernements notamment : la distanciation sociale, la politique de dépistage, le port des masques…

Le modèle que nous proposons, utilise 8 compartiments que nous appelons « SCHIQMUR ». Nous avons ajouté 5 compartiments additionnels que nous avons jugé nécessaires pour refléter au mieux la réalité.

Le schéma ci-dessous explique le transfert d’individu entre chaque compartiment :

Après avoir implémenté ce modèle dans une solution de calcul numérique, nous avons procédé à un ajustement de la courbe empirique (curve fitting). Il s’agit d’une méthode qui consiste à construire une courbe modèle, définie à partir d’un ensemble de fonctions mathématiques, et d’ajuster les paramètres de ces dernières pour se rapprocher au mieux de la courbe expérimentale.

Le modèle semble correspondre mieux à la courbe épidémique réelle que les autres modèles classiques. Assurément, le modèle SIR amélioré ajuste les paramètres de forme de la courbe empirique en l’occurrence, l’aplatissement et l’asymétrie. De surcroît, le modèle nous permet d’avoir des informations pertinentes non fournies par les autres modèles.

Concrètement, de par sa structure complexe, le modèle SIR amélioré nous offre un aperçu plus réaliste de l’évolution de chacun des compartiments du modèle. Dans le cas présent, nous pouvons tracer l’évolution des cas asymptomatiques et estimer leur nombre en fonction du temps comme le montre le graphique ci-dessous.

Cette illustration retrace la réalité, car, lorsqu'une personne saine est exposée au virus, elle ne devient pas nécessairement capable de le transmettre immédiatement, elle devient contaminée. Après une période de latence, la personne devient infectieuse sans pour autant montrer des symptômes cliniques, et ce, sur une durée déterminée appelée durée d’incubation. Dès l’apparition des symptômes, le malade est pris en charge par les services hospitaliers.

De plus, le nombre de cas asymptomatiques au 8 mai est de 550±50 cas, ces derniers vont être signalés (après que la période d’incubation se termine et les premiers symptômes commencent à apparaître) et intégrés dans la liste des confirmés dans les jours à venir. Notons que le Maroc a dépassé le pic de la courbe des asymptomatiques, signifiant la décroissance du nombre dans les jours à venir.

Dans le cas de la courbe épidémique du covid-19 au Maroc, le modèle dévoile les informations suivantes :

- La fin de l’épidémie à l’échelle nationale vers la dernière semaine du septembre.

- Le nombre de cas déclarés atteindra 9.200±100.

- Le nombre de cas décédés sera aux alentours de 270±30.

- Le nombre maximal des cas hospitalisés est 3.311, est atteint le 1er mai.

- Le nombre maximal de personnes admises en soins intensifs ne dépassera guère 160 cas.

Pour un but comparatif, nous appliquons le modèle sur les autres pays touchés par la pandémie. Ce qui nous permettra de  connaitre leur position en absolue et relative sur la courbe épidémique.

En conclusion,
De par son instinct de survie, l’homme tente en vain d’anticiper l’avènement des épidémies pour mieux les contrer. Grâce au développement des sciences, l’homme devient de plus en plus outillé pour comprendre les mécanismes de fonctionnement, les modes de transmission, la propagation et le développement des épidémies. A travers la modélisation mathématique, il a pu évaluer, simuler, prédire l’évolution de l’épidémie, pour proposer des solutions permettant de freiner sa propagation.

Grâce à cela, nous avons pu avoir un aperçu sur l’évolution de l’épidémie à l’échelle nationale. Toutefois, Il convient de rappeler que les modèles utilisés sont certes rigoureux et précis, mais calculés à une date et avec des paramètres donnés. Tout changement impacterait d’une manière significative les résultats de ces modèles.

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